概率分布和随机变量独立性
2021-05-29

离散型随机变量的常用分布

[ + ] 两点分布

1 若事件A发生
0 若事件A不发生

记做 r,v X ~ B(1,p)

[ + ] 二项分布

n次伯努利实验的成功次数X,每次伯努利实验成功概率p
q = 1 - p
记做 $$r,v X ~ B(n,p)

$$ 1 = (p+q)^{n} = \sum_{k=0}^nC_{n}^{k}p^kq^{n-k}

利用泊松定理
limnnpn=λ\lim_{n \to \infty}np_n = \lambda,则

limnCnkpnkqnnk=λkk!eλ\lim_{n \to \infty}C_n^kp_n^kq_n^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

其中,qn=1pnq_n = 1- p_n.

可得: $$C_n^k p^k q^{n-k} \approx \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$$

总结

λ=np\lambda = n*p

则$$F(X) = \sum_{k=0}x\frac{\lambdak}{k!}e^{-\lambda}$$
结果查表可得

[ + ] 泊松分布

极小概率事件,在大量试验次数中体出现的分布状态

P(X=k)=λkk!eλP(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

记做 P(λ)P(\lambda)
其中λ>0\lambda > 0为参数

确定λ\lambda 和 X 后可直接查表

[ + ] 超几何分布

在含有M件次品的N件产品中,无放回的拿出n件,次品有k件的概率为P(X=k)P(X = k)

P(X=k)=CMkCNMnkCNn,k=0,1,2,...,min(M,n)P(X = k) = \frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} , k = 0,1,2,...,min(M,n)

当N很大,n相对较小的时候,有放回无放回对实验影响不大,则

CMkCNMnkCNnCnkpkqnk\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} \approx C_n^kp^kq^{n-k}

其中p=M/N.p = M/N.

连续性分布

[ + ] 均匀分布

记做 r,vXU(a,b)r,v X\sim U(a,b)
概率密度为:

f(x)={1ba,axb0,f(x) = \left \{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a}&,a\leq x \leq b \\ 0&,其他 \end{aligned} \right.

分布函数为:

F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x) = \left \{ \begin{aligned} &0, &x<a\\ &\frac{x-a}{b-a},&a\le x < b\\ &1,&x\ge b \end{aligned} \right.

[ + ] 指数分布

密度函数为:

f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\ &0,&x \le 0\\ \end{aligned} \right.

分布函数为:

F(x)={0,x<01eλx,x0F(x) = \left\{ \begin{aligned} &0,&x<0\\ &1-e^{-\lambda x},&x\le 0 \end{aligned} \right.

[ + ] 正态分布

传说中的咸鱼分布
概率密度为:

f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},&x>0\\ &0,&x \le 0 \end{aligned} \right.

记做Exp(λ)Exp(\lambda)

离散型随机变量的边缘分布

设二维离散型随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为:

P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2...P(X=xi)=j=1+pij,i=1,2...P(X=x_i,Y=y_j) = p_{ij},\quad i,j=1,2...\\ P(X=x_i) = \sum_{j=1}^{+\infty}p_{ij},\quad i=1,2...

称为二维离散型随机变量(X,Y)关于X的边缘分布律
记做pi.p_{i.}
同理 $$P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^{+\infty}p_{ij},\quad j=1,2....$$
称为二维离散型随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布律
记做p.jp_{.j}

连续性随机变量的边缘分布

FX(x)F_X(x)为对Y没有要求的 关于随机变量X的分布律
FY(y)F_Y(y)为对X没有要求的 关于随机变量Y的分布律

fX(x)=+f(x,y)dyf_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy 是X的概率密度
fY(y)=+f(x,y)dxf_Y(y) =\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx